LOGICA DISCRETA

TAUTOLOGIA

• "Tautología (del griego = discurso o razonar autoexplicativo)"




• "Se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran."




• "Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el argumento es válido."




• "En lógica lo tautológico se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la inferencia deductiva."




• "La tabla de verdad del esquema de inferencia que enlaza el antecedente y el consecuente da siempre el valor de verdad V, y en todos los casos posibles de los valores de verdad de las proposiciones que la integran, es una tautología. Su validez lógica consiste precisamente en que no puede darse el caso de que siendo verdad el antecedente, no lo sea el consecuente."




• "Los argumentos deductivos válidos son, por definición, tautologías."




• "Algunas tautologías pueden ser consideradas como leyes lógicas, es decir como modelos aplicables para las inferencias"




• "La tautología se trata de una proposición que necesariamente es verdadera (A es = A), con independencia de que represente un hecho real o no. De este modo se acepta "a priori" (= previo a la experiencia) y sirve de premisa obvia. (Wittgenstein)"




• En un sistema de CALCULO AXIOMATICO, se llaman AXIOMAS a las leyes lógicas que sirven de base para derivar todo su contenido. Estos AXIOMAS son tautologías. El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa




• Igual que la lógica, las matemáticas pueden ser consideradas como una ciencia de hacer tautologías particularmente elaboradas de una forma rigurosa.




• Un teorema matemático es un ejemplo de tautología.

OPERACIONES LOGICAS

más conocida por su nombre en inglés AND, realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (•), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta AND

Entrada A Entrada B Salida AB 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Su definición se puede dar, como una compuerta que entrega un 1 lógico sólo si todas las entradas están a nivel alto 1. • La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR, realiza la operación de suma lógica. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta OR

Entrada A Entrada B Salida A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si al menos una de sus entradas está a 1.

• La puerta lógica O-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A’B+AB’. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:

Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta XOR Entrada A Entrada B Salida A B

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas). Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa, para tres entradas escribiríamos: a (b c) o bien (a b) c. Su tabla de verdad sería: XOR de tres entradas Entrada A Entrada B Entrada C Salida A B C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

• La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:

Su tabla de verdad es la siguiente: Tabla de verdad puerta NOT Entrada A Salida

0 1 1 0 Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su entrada.

CONVERSIONES DE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO

Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario

1. Dividimos el numero 42 entre 2
2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1.
3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente esquema.

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL FRACCIONARIO A UN NUMERO BINARIO

1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior.
2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:


Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero binario correspondiente

Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0

Tomamos nuevamente la parte entera, y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al último .Luego tomamos el numero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal.

MAPAS DE KARNAVGH

Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.

Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.

Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1".

Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

MAXITERMINOS Y MINITERMINOS.

Ejemplo: Expresar la función F = A+B’C en una suma de miniterminos.

F= A+B’C F(A,B,C) A= A(B+B’) = AB+AB’

= AB(C+C’) + AB’(C+C’)

= ABC + ABC’ + AB’C +AB’C’

B’C = B’C (A+A’)

= AB’C + A’B’C

F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C+A’B’C F = A’B’C+AB’C’ +AB’C+ABC’+ABC F = m1+ m4+m5+ m6+ m7 F(A,B,C)=SUM(1,4,5,6,7)

La sumatoria representa al operador OR que opera en los términos y números siguientes son los minitérminos de la función.

COMPUERTAS LOGICAS

Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.

La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

CIRCUITOS LOGICOS CON COMPUERTAS

el sistema matematico llamado algebra pooleana en honor del matematico george boole que especifica la operacion de cada compuerta.
El algenra pooleana tambien se utiliza para describir la interconexion de compuertas digitales y para transformar diagramas de circuitos en expresiones algebraicas.

Lògica Binaria

Tiene que ver con variables que asumen 2 valores discretos y con operaciones que asumen un significado logico los 2 valores que toman las variables son 1 y 0. Y su nombre es designado por letras del alfabeto .
Existen 3 operaciones logicas asociadas con los valores binarios llamados:
AND
OR
NOT

TABLAS DE VERDAD

La interpretación de una fórmula queda completamente determinado por los valores de verdad de las variables proposicionales (VP) que dicha interpretación asigna a las letras enunciativas que aparecen en esa fórmula. Una vez que conocemos el valor de verdad que la interpretación asigna a cada VP y tenemos presentes las definiciones de los conectivos resulta fácil determinar el valor de verdad que le corresponde a la fórmula completa.
El procedimiento de determinación requiere ir por pasos, estableciéndolos valores correspondientes a los diferentes niveles de subfórmulas (indicados por los paréntesis) hasta alcanzar el nivel de la fórmula completa. Así obtenemos una tabla de verdad para la fórmula en cuestión.

Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores de verdad de las VP de una fórmula y determina los valores correspondientes a esa fórmula para cada una de esas combinaciones, es decir, cada renglón será una interpretación posible para esa fórmula a partir de las diferentes combinaciones de valores de verdad para las VP que la compongan.

Cada tabla requiere un número de interpretaciones que se corresponde con el número de combinaciones de valores de verdad para las VP que aparezcan en la fórmula. El criterio para determinar cuantas interpretaciones posibles tiene una fórmula depende del número de VP distintas que aparezcan en ella. Dado que según el Principio de Bivalencia que rige la Lógica Clásica una fórmula sólo puede tener dos valores de verdad (a saber, V o F) para una fórmula que contenga n VP, ese número es 2n. Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá 22 = 4 renglones, una que tenga 3, tendrá 23 = 8, una que tenga 4 24 = 16 y así sucesivamente.